Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do quicksort no pior caso?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. ASoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
  2. BTodo problema em P também está em NP
  3. CNP significa "não polinomial"
  4. DFoi provado que P ≠ NP
3.Estruturas de dadosMédia

O que acontece quando uma tabela hash faz rehash depois que o fator de carga passa de um limite?

  1. AAs chaves existentes são ordenadas no próprio lugar
  2. BAs chaves mais antigas são apagadas para abrir espaço
  3. CUma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
  4. DSó as chaves que colidiram são movidas para uma nova lista de overflow no fim da tabela
4.Estruturas de dadosDifícil

Quais são os custos de tempo e de espaço extra para inverter no próprio lugar uma lista simplesmente encadeada?

  1. ATempo O(n) e espaço extra O(n)
  2. BTempo O(1) e espaço extra O(1)
  3. CTempo O(n) e espaço extra O(1)
  4. DTempo O(n log n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
110121819921164ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 6; as arestas descartadas não contam.

k = 6
  1. 1aresta AC
  2. 2aresta BC
  3. 3aresta BD
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta GB
  9. 9aresta GD
  10. 10aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n²)

Porque é esta a resposta

Com pivôs sempre ruins (por exemplo, entrada já ordenada e o primeiro elemento como pivô), as partições ficam desbalanceadas, resultando em O(n²). O caso médio é O(n log n).

Resposta

B · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

B · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo

Porque é esta a resposta

Como o índice é calculado módulo o tamanho da tabela, todas as chaves precisam ser reinseridas na nova tabela maior; dobrando o tamanho, o custo continua O(1) amortizado.

Resposta

C · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Tempo O(n) e espaço extra O(1)

Porque é esta a resposta

Manter três ponteiros (anterior, atual, próximo) permite inverter cada ligação em uma passada, sem alocar novos nós.

Resposta

C · Tempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

A, B → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta GB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. AC (1)
2. EF (2)
3. GE (4)
4. GD (6)
5. BC (10)
6. GB (11)

número da aresta 6

GB

Resposta

aresta GB

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