Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ANenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  2. BUm único laço
  3. CSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  4. DApenas entradas aleatórias
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual algoritmo encontra uma árvore geradora mínima adicionando repetidamente a aresta mais barata que não forma um ciclo?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BAlgoritmo de Prim a partir de um nó
  3. CAlgoritmo de Dijkstra
  4. DFloyd-Warshall
3.Estruturas de dadosMédia

Uma trie (árvore de prefixos) é especialmente eficiente para:

  1. AOrdenar números
  2. BArmazenar matrizes
  3. CEncontrar caminhos mínimos
  4. DBuscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é a principal vantagem de uma skip list em relação a uma lista encadeada ordenada?

  1. AEla não usa memória extra
  2. BBusca em O(1) garantido, porque cada nó guarda um ponteiro para todos os outros nós
  3. CEla armazena as chaves sem ordem
  4. DBusca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
15101115101031211ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(D) do caminho mais curto de A até D no grafo ponderado.

início: Afim: D
d(D) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

C · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Algoritmo de Kruskal

Porque é esta a resposta

Kruskal ordena as arestas por peso e as adiciona se conectarem componentes diferentes; Prim faz crescer uma única árvore a partir de um vértice inicial.

Resposta

A · Algoritmo de Kruskal
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático

Porque é esta a resposta

Tries armazenam strings caractere por caractere ao longo de caminhos, então buscas e consultas por prefixo levam tempo proporcional ao tamanho da chave.

Resposta

D · Buscas por prefixo, como o preenchimento automático
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente

Porque é esta a resposta

Níveis aleatórios permitem que as buscas pulem muitos nós, resultando em tempo esperado O(log n) para busca, inserção e remoção.

Resposta

D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

E, F → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(D) = 30

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 15, C: 10
C (10): E: 20
B (15): D: 30
E (20): F: 32
D (30)
F (32)

Caminho mais curto

A → B → D
d(D) = 30

Resposta

d(D) = 30

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