Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. AUsa apenas recursão
  2. BTesta todas as soluções possíveis
  3. CFaz a melhor escolha local em cada passo
  4. DSempre fornece a solução ótima
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual limite está correto para log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma rede rodoviária tem 100,000 cruzamentos, cada um ligado a cerca de 4 outros. Qual representação é mais adequada?

  1. AMatriz de adjacência
  2. BUm único array ordenado de vértices
  3. CUm heap binário de arestas
  4. DLista de adjacência
4.Estruturas de dadosDifícil

Um array dinâmico dobra de tamanho quando fica cheio. Por que muitas implementações só o encolhem quando está com um quarto da capacidade, e não com metade?

  1. APorque o alocador de memória só consegue liberar memória em quartos de bloco
  2. BPara manter o array ordenado
  3. CPara evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
  4. DPorque reduzir à metade com metade ocupada perderia elementos
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K5? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K5
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
5251815104ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

C · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Θ(n log n)

Porque é esta a resposta

log(n!) ≤ n log n, e os n / 2 maiores fatores dão log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); é por isso que a ordenação por comparação precisa de Ω(n log n).

Resposta

A · Θ(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Lista de adjacência

Porque é esta a resposta

Uma matriz precisaria de 1010 células, quase todas vazias; uma lista de adjacência armazena só as cerca de 400,000 entradas de arestas.

Resposta

D · Lista de adjacência
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite

Porque é esta a resposta

Encolher com metade ocupada poderia disparar um redimensionamento a cada operação nessa sequência; a folga entre 1/4 e cheio mantém o custo amortizado em O(1).

Resposta

C · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Resposta

H = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 5, C: 2
2. C (2)
3. B (5): D: 6, E: 9
4. D (6): F: 21
5. E (9): F: 19
6. F (19)

rodada 3

B

Resposta

B

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