Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de multiplicar duas matrizes n × n com o laço triplo padrão?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que o algoritmo de Dijkstra pode dar resultados errados quando alguns pesos de aresta são negativos?

  1. AEntra num laço infinito a cada aresta negativa
  2. BUm vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
  3. CSó funciona em grafos não dirigidos
  4. DNúmeros negativos não podem ser armazenados numa fila de prioridade
3.Estruturas de dadosMédia

Quantos nós tem uma árvore binária perfeita de altura h, com a altura contada em arestas?

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.Estruturas de dadosDifícil

Para uma tabela hash funcionar corretamente, que regra o hash e a igualdade devem seguir?

  1. AValores hash iguais implicam chaves iguais
  2. BOs valores hash devem ser números primos
  3. CChaves diferentes devem ter valores hash diferentes
  4. DChaves iguais devem ter valores hash iguais
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 32 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
55101231113142ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n³)

Porque é esta a resposta

Há n² entradas e cada uma precisa de n multiplicações, o que dá n³ operações.

Resposta

B · O(n³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto

Porque é esta a resposta

O passo guloso depende de pesos não negativos para que as distâncias extraídas sejam definitivas; usa-se Bellman–Ford quando os pesos podem ser negativos.

Resposta

B · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 2h+1 − 1

Porque é esta a resposta

Somar 1 + 2 + 4 + ... + 2h dá 2h+1 − 1; por exemplo, altura 2 dá 7 nós.

Resposta

B · 2h+1 − 1
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Chaves iguais devem ter valores hash iguais

Porque é esta a resposta

Se duas chaves iguais tivessem hashes diferentes, iriam para buckets diferentes e as buscas falhariam; chaves diferentes ainda podem compartilhar um hash.

Resposta

D · Chaves iguais devem ter valores hash iguais
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 28 = 2(L + 10) − 2
L = 10

Resposta

L = 10

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 5
2. B (5): C: 10, D: 15, G: 19
3. C (10): E: 22
4. D (15): E: 18, F: 26, G: 17
5. G (17)
6. E (18)
7. F (26)

rodada 4

D

Resposta

D

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