Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Caminhos simples mínimos podem ser encontrados em tempo polinomial. O que se sabe sobre encontrar o caminho simples mais longo entre dois vértices num grafo geral?

  1. APode ser resolvido pelo algoritmo de Dijkstra com os pesos negados
  2. BÉ NP-difícil
  3. CÉ sempre solúvel em O(V + E)
  4. DÉ indecidível
3.Estruturas de dadosMédia

Em um heap binário armazenado em um array a partir do índice 0, onde está o pai do nó no índice i?

  1. ANo índice ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BNo índice i − 1
  3. CNo índice 2i + 1
  4. DNo índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dadosDifícil

Que garantia as regras da árvore rubro-negra dão sobre a altura de uma árvore com n chaves?

  1. AA altura é no máximo 2 log2(n + 1)
  2. BA altura é exatamente log2 n
  3. CA altura é no máximo n / 2
  4. DA altura é no máximo log2 n + 1
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
1081311712105ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O laço interno executa cerca de log₂ n vezes para cada uma das n iterações externas, o que dá O(n log n).

Resposta

B · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · É NP-difícil

Porque é esta a resposta

Um caminho simples mais longo de comprimento V − 1 é um caminho hamiltoniano, um problema NP-completo; em grafos acíclicos dirigidos, porém, é solúvel em tempo linear.

Resposta

B · É NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: D · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Porque é esta a resposta

Os filhos de i estão em 2i + 1 e 2i + 2, então o pai de i é ⌊(i − 1) / 2⌋; com índices a partir de 1, é ⌊i / 2⌋.

Resposta

D · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)

Porque é esta a resposta

Todo caminho tem o mesmo número de nós pretos e nós vermelhos não podem ser adjacentes, então o caminho mais longo é no máximo o dobro do mais curto, o que dá altura O(log n).

Resposta

A · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 14

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Resposta

L = 14

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 10, C: 8
2. C (8): E: 15
3. B (10): D: 21
4. E (15): D: 16, F: 25
5. D (16): F: 18
6. F (18)

rodada 5

D

Resposta

D

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