Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo encontra os caminhos mínimos a partir de uma origem em um grafo com pesos de arestas não negativos?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BAlgoritmo de Kruskal
  3. CBellman-Ford é necessário em todos os casos
  4. DBusca em profundidade (DFS)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Caminhos simples mínimos podem ser encontrados em tempo polinomial. O que se sabe sobre encontrar o caminho simples mais longo entre dois vértices num grafo geral?

  1. AÉ indecidível
  2. BÉ sempre solúvel em O(V + E)
  3. CÉ NP-difícil
  4. DPode ser resolvido pelo algoritmo de Dijkstra com os pesos negados
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva a busca de uma palavra de comprimento L em uma trie com alfabeto fixo?

  1. AO(log n), em que n é o número de palavras
  2. BO(L × n)
  3. CO(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
  4. DO(n), em que n é o número de palavras
4.Estruturas de dadosDifícil

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, por que a remoção costuma ser feita com um marcador de "lápide" (tombstone)?

  1. AChaves removidas precisam ser mantidas para sempre por segurança, então as posições nunca podem ser reutilizadas
  2. BIsso deixa a tabela ordenada
  3. CLápides aceleram o hashing
  4. DEsvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 16 vértices e 22 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 16|E| = 22
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de A a B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Algoritmo de Dijkstra

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Dijkstra funciona com pesos não negativos; Bellman-Ford lida com pesos negativos; Kruskal constrói árvores geradoras mínimas.

Resposta

A · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · É NP-difícil

Porque é esta a resposta

Um caminho simples mais longo de comprimento V − 1 é um caminho hamiltoniano, um problema NP-completo; em grafos acíclicos dirigidos, porém, é solúvel em tempo linear.

Resposta

C · É NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas

Porque é esta a resposta

Cada caractere escolhe um filho, então uma busca leva L passos, não importa quantas palavras a trie contenha.

Resposta

C · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves

Porque é esta a resposta

Se uma posição removida ficasse vazia, buscas posteriores poderiam parar cedo demais e não encontrar chaves colocadas mais adiante na cadeia de sondagem.

Resposta

D · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 7

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

16 − 1 = 15

Arestas a remover

k = 22 − 15 = 7

Resposta

k = 7
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 = 1

Resposta

N = 1

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