Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a base do logaritmo costuma ser omitida no O grande, como em O(log n)?

  1. ATodos os logaritmos em computação têm base 10, então ela fica implícita
  2. BLogaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
  3. CA base só importa para n pequeno
  4. DOs logaritmos são sempre arredondados para inteiros
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre selecionar o k-ésimo menor elemento de um array não ordenado está correta?

  1. AO quickselect roda em O(log n) no pior caso, porque faz recursão em apenas um lado do pivô
  2. BO quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
  3. CA seleção sempre exige Ω(n log n), porque requer ordenação
  4. DA seleção só é possível em O(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Como um novo elemento é inserido em um heap binário?

  1. AColoca-se na raiz e faz-se sift-down
  2. BColoca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
  3. CInsere-se na posição ordenada, deslocando uma posição à direita todos os elementos maiores
  4. DReconstrói-se o heap inteiro do zero
4.Estruturas de dadosDifícil

O algoritmo de Kahn para ordenação topológica remove repetidamente vértices com grau de entrada 0. Qual estrutura guarda esses vértices?

  1. AUma matriz de adjacência que registra quais vértices já foram removidos
  2. BUma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
  3. CUma pilha com todas as arestas visitadas
  4. DUm max-heap ordenado pelo grau de saída
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
31241514121414511ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante

Porque é esta a resposta

Mudar a base multiplica o logaritmo por uma constante, e o O grande ignora fatores constantes.

Resposta

B · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso

Porque é esta a resposta

O trabalho esperado do quickselect é n + n/2 + n/4 + ... = O(n) com pivôs aleatórios; escolher o pivô como mediana das medianas torna o pior caso linear.

Resposta

B · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap

Porque é esta a resposta

Adicionar no fim mantém a árvore completa; trocar com o pai restaura a ordem em O(log n) passos.

Resposta

B · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0

Porque é esta a resposta

Os vértices prontos ficam numa fila; remover um diminui o grau de entrada dos vizinhos, e os que chegam a 0 são adicionados, o que dá tempo O(V + E).

Resposta

B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 30

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 3, C: 12
B (3): C: 7, D: 18
C (7): G: 21
D (18): E: 32, F: 30
G (21)
F (30)
E (32)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 30

Resposta

d(F) = 30

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