Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a diferença entre um problema indecidível e um intratável?

  1. AAmbos significam que o problema não tem nenhum algoritmo
  2. BProblemas indecidíveis estão em NP, enquanto os intratáveis estão em P
  3. CProblemas intratáveis não podem ser resolvidos por nenhum algoritmo, enquanto os indecidíveis só exigem tempo exponencial
  4. DNenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dadosMédia

As chaves 50, 30, 70, 20, 40 são inseridas nessa ordem em uma árvore binária de busca vazia. Qual é o filho esquerdo de 30?

  1. A70
  2. B50
  3. C40
  4. D20
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que árvores B (B-trees) são usadas em bancos de dados e sistemas de arquivos?

  1. ASeu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
  2. BElas não precisam de rebalanceamento
  3. CElas armazenam os dados sem ordenação
  4. DElas usam menos memória que qualquer array, então o índice inteiro sempre cabe na memória principal
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
111581375910ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(log n)

Porque é esta a resposta

O problema cai pela metade a cada passo, com trabalho constante por passo, então há cerca de log₂ n passos.

Resposta

B · O(log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais

Porque é esta a resposta

O problema da parada não tem nenhum algoritmo; um problema NP-difícil como o TSP pode ser resolvido por força bruta, só que não em tempo polinomial conhecido.

Resposta

D · Nenhum algoritmo resolve um problema indecidível para todas as entradas, enquanto um intratável tem algoritmo, mas é lento demais
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 20

Porque é esta a resposta

20 é menor que 50 e menor que 30, então se torna o filho esquerdo de 30; 40 se torna o filho direito.

Resposta

D · 20
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco

Porque é esta a resposta

Árvores B armazenam muitas chaves por nó, então a altura é pequena e poucas leituras de blocos são necessárias por busca; árvores B+ também ligam as folhas para varreduras por intervalo.

Resposta

A · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices ímpares

A, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 29

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 11, C: 15
B (11): D: 24, E: 21
C (15)
E (21): F: 30
D (24): F: 29
F (29)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 29

Resposta

d(F) = 29

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