Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árvore e floresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em K_n: (n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L: (Mᴸ)_ij

Método

Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

É correto dizer que um algoritmo O(n²) também é O(n³)?

ANão, porque n³ é menor que n² para n grande
BSim, mas só se n for menor que 100
CSim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³
DNão, porque o O grande deve sempre dar a taxa de crescimento exata da função

2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual algoritmo encontra uma árvore geradora mínima adicionando repetidamente a aresta mais barata que não forma um ciclo?

AFloyd-Warshall
BAlgoritmo de Prim a partir de um nó
CAlgoritmo de Kruskal
DAlgoritmo de Dijkstra

3.Estruturas de dadosMédia

Quantos nós tem uma árvore binária perfeita de altura h, com a altura contada em arestas?

A2h + 1
Bh²
C2^h
D2^h+1 − 1

4.Estruturas de dadosDifícil

Sob hashing uniforme simples, qual é o tempo esperado de uma busca em uma tabela hash com encadeamento, n chaves e m buckets?

AO(n)
BO(1 + α), em que α = n / m
CO(log n)
DO(m)

5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 5

L =

6.Teoria dos grafosDifícil

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(C) do caminho mais curto de A até C no grafo ponderado.

início: Afim: C

d(C) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

Porque é esta a resposta

O O grande é um limite superior, então a afirmação é verdadeira, mas não justa; Θ(n²) dá a taxa de crescimento exata.

Resposta

C · Sim, porque o O grande é um limite superior e n² não cresce mais rápido que n³

2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Algoritmo de Kruskal

Porque é esta a resposta

Kruskal ordena as arestas por peso e as adiciona se conectarem componentes diferentes; Prim faz crescer uma única árvore a partir de um vértice inicial.

Resposta

C · Algoritmo de Kruskal

3.Estruturas de dados

Resposta: D · 2^h+1 − 1

Porque é esta a resposta

Somar 1 + 2 + 4 + ... + 2^h dá 2^h+1 − 1; por exemplo, altura 2 dá 7 nós.

Resposta

D · 2^h+1 − 1

4.Estruturas de dados

Resposta: B · O(1 + α), em que α = n / m

Porque é esta a resposta

Calcular o hash custa O(1) e o comprimento esperado da cadeia é α, então manter α limitado por redimensionamento dá tempo esperado O(1).

Resposta

B · O(1 + α), em que α = n / m

5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; K_n tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 15 = 2(L + 3) − 2

L = 11

Resposta

L = 11

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(C) = 5

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 12

B (1): C: 5, D: 9, G: 4

G (4): D: 7, E: 15

C (5)

D (7): E: 13, F: 10

F (10)

E (13)

Caminho mais curto

A → B → C

d(C) = 5

Resposta

d(C) = 5

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