Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo de ordenação é estável?

  1. AHeap sort
  2. BMerge sort
  3. CSelection sort (versão típica)
  4. DQuicksort (versão in-place típica)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que decorreria se alguém encontrasse um algoritmo de tempo polinomial para um problema NP-completo?

  1. AO problema da parada se tornaria decidível
  2. BSó aquele problema passaria para P
  3. CTodos os algoritmos de tempo exponencial passariam imediatamente a rodar em tempo linear
  4. DTodo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
3.Estruturas de dadosMédia

Um buffer circular (ring buffer) é comumente usado para implementar:

  1. AUma árvore binária de busca
  2. BUma fila de tamanho fixo
  3. CUm percurso em grafo
  4. DUma função hash
4.Estruturas de dadosDifícil

Que garantia as regras da árvore rubro-negra dão sobre a altura de uma árvore com n chaves?

  1. AA altura é exatamente log2 n
  2. BA altura é no máximo n / 2
  3. CA altura é no máximo 2 log2(n + 1)
  4. DA altura é no máximo log2 n + 1
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 22 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 22
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
2312171198146710ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 5; as arestas descartadas não contam.

k = 5
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BD
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta GB
  9. 9aresta GC
  10. 10aresta GD
  11. 11aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Merge sort

Porque é esta a resposta

O merge sort é estável quando, em caso de empate, a intercalação pega primeiro da metade esquerda. Quicksort in-place, heap sort e selection sort geralmente não são estáveis.

Resposta

B · Merge sort
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP

Porque é esta a resposta

Como todo NP se reduz a qualquer problema NP-completo em tempo polinomial, um algoritmo rápido para um dá um algoritmo rápido para todos.

Resposta

D · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila de tamanho fixo

Porque é esta a resposta

Um buffer circular usa índices de início e fim que dão a volta, oferecendo enqueue e dequeue em O(1) com memória fixa.

Resposta

B · Uma fila de tamanho fixo
4.Estruturas de dados

Resposta: C · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)

Porque é esta a resposta

Todo caminho tem o mesmo número de nós pretos e nós vermelhos não podem ser adjacentes, então o caminho mais longo é no máximo o dobro do mais curto, o que dá altura O(log n).

Resposta

C · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 22 − 10 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta GD

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. DE (1)
2. AB (2)
3. AC (3)
4. GC (6)
5. GD (7)
6. EF (8)

número da aresta 5

GD

Resposta

aresta GD

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