Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de log₂ n
  2. BCerca de n
  3. CCerca de √n
  4. DCerca de n / 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da parada mostra que:

  1. ANenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
  2. BLaços devem ser evitados
  3. CTodo programa acaba parando
  4. DAlguns programas rodam mais rápido em computadores mais rápidos, então a parada depende do hardware
3.Estruturas de dadosMédia

Como um novo elemento é inserido em um heap binário?

  1. AReconstrói-se o heap inteiro do zero
  2. BColoca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
  3. CColoca-se na raiz e faz-se sift-down
  4. DInsere-se na posição ordenada, deslocando uma posição à direita todos os elementos maiores
4.Estruturas de dadosDifícil

A remoção de um nó com dois filhos de uma árvore binária de busca normalmente é feita:

  1. ARemovendo a subárvore inteira
  2. BSubstituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
  3. CReconstruindo do zero a subárvore abaixo dele e reinserindo todas as chaves que ela continha
  4. DTrocando-o com a raiz
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 6 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 6|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
713315212497ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(G) do caminho mais curto de A até G no grafo ponderado.

início: Afim: G
d(G) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

A · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para

Porque é esta a resposta

Turing mostrou que o problema da parada é indecidível: supor que existe um decisor leva a uma contradição com um programa que faz o oposto.

Resposta

A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap

Porque é esta a resposta

Adicionar no fim mantém a árvore completa; trocar com o pai restaura a ordem em O(log n) passos.

Resposta

B · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó

Porque é esta a resposta

O sucessor em ordem tem no máximo um filho, então pode ser removido facilmente depois de copiar sua chave para o nó que está sendo removido.

Resposta

B · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

6 − 1 = 5

Arestas a remover

k = 17 − 5 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(G) = 19

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): C: 10, D: 22
C (10): E: 12, G: 19
E (12): F: 16
F (16)
G (19)
D (22)

Caminho mais curto

A → B → C → G
d(G) = 19

Resposta

d(G) = 19

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