Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a programação dinâmica não traz ganho real de velocidade para o merge sort?

  1. AO merge sort não tem estrutura recursiva
  2. BO merge sort já é O(n)
  3. CSeus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
  4. DA programação dinâmica só funciona em problemas de grafos, não em vetores
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como é classificado o problema do caixeiro-viajante?

  1. AA versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
  2. BÉ indecidível
  3. CEstá em P, porque o algoritmo de Dijkstra o resolve visitando cada cidade uma única vez
  4. DA versão de decisão está em P, mas a versão de otimização é NP-completa
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. AQue nenhum nó tenha dois filhos
  2. BQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
  3. CAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
  4. DBusca em tempo constante em todos os casos
4.Estruturas de dadosDifícil

Um filtro de Bloom pode responder "este elemento está no conjunto?" com:

  1. ARespostas apenas para números
  2. BPossíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
  3. CPossíveis falsos negativos, mas nenhum falso positivo
  4. DRespostas sempre exatas
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
111110114247ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar

Porque é esta a resposta

As metades do merge sort são disjuntas e cada uma é resolvida uma vez; a PD só ajuda quando os subproblemas se repetem, como no Fibonacci.

Resposta

C · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil

Porque é esta a resposta

"Existe um percurso de comprimento no máximo k?" é NP-completo; encontrar o percurso mais curto é NP-difícil, pois é pelo menos tão difícil quanto.

Resposta

A · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

C · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo

Porque é esta a resposta

Se algum bit de um item for 0, ele certamente não está presente; se todos forem 1, provavelmente está. Filtros de Bloom trocam precisão por um uso muito pequeno de memória.

Resposta

B · Possíveis falsos positivos, mas nenhum falso negativo
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

C, D, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 18

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 11, C: 11
B (11): D: 12, E: 18
C (11)
D (12): E: 14
E (14): F: 18
F (18)

Caminho mais curto

A → B → D → E → F
d(F) = 18

Resposta

d(F) = 18

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