Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  2. BO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
  3. CO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
  4. DO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca binária não dá tempo O(log n) numa lista simplesmente encadeada?

  1. AAs comparações entre nós de lista encadeada são mais lentas
  2. BA busca binária precisa de pelo menos o dobro da memória
  3. CChegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
  4. DListas encadeadas não podem ser ordenadas
3.Estruturas de dadosMédia

Como se encontra a menor chave em uma árvore binária de busca?

  1. AVisitando todas as folhas e comparando-as
  2. BSeguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
  3. CSeguindo os filhos direitos a partir da raiz até não haver filho direito
  4. DOlhando apenas a raiz
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de Fenwick (binary indexed tree) sobre um array de n números permite quais operações em O(log n)?

  1. AInserir elementos em qualquer posição
  2. BOrdenar o array e fazer busca binária
  3. CConsultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
  4. DEncontrar a mediana em O(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
1157101889ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

C · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice

Porque é esta a resposta

A busca binária precisa de acesso O(1) ao meio; numa lista encadeada, andar até lá custa tempo linear, então o total é O(n).

Resposta

C · Chegar ao elemento do meio leva O(n) passos, pois não há acesso direto por índice
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda não tem chave menor na árvore, então é o mínimo; o custo é proporcional à altura.

Resposta

B · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento

Porque é esta a resposta

Uma árvore de Fenwick armazena somas parciais sobre intervalos determinados pelos bits menos significativos de cada índice, então tanto as somas de prefixo quanto as atualizações pontuais levam O(log n).

Resposta

C · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 16

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 38 = 2(L + 12) − 2
L = 16

Resposta

L = 16

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 16

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 15
B (1): D: 8, E: 10
D (8): E: 9, F: 16
E (9)
C (15)
F (16)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 16

Resposta

d(F) = 16

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