Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
  2. BO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
  3. CO custo de um algoritmo com a melhor entrada
  4. DO custo esperado sobre entradas aleatórias
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual algoritmo encontra uma árvore geradora mínima adicionando repetidamente a aresta mais barata que não forma um ciclo?

  1. AAlgoritmo de Prim a partir de um nó
  2. BAlgoritmo de Kruskal
  3. CFloyd-Warshall
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. AOrdem de inserção
  2. BOrdem crescente
  3. COrdem por nível
  4. DSempre ordem decrescente
4.Estruturas de dadosDifícil

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, por que a remoção costuma ser feita com um marcador de "lápide" (tombstone)?

  1. ALápides aceleram o hashing
  2. BIsso deixa a tabela ordenada
  3. CChaves removidas precisam ser mantidas para sempre por segurança, então as posições nunca podem ser reutilizadas
  4. DEsvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
7131166111289ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

B · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Algoritmo de Kruskal

Porque é esta a resposta

Kruskal ordena as arestas por peso e as adiciona se conectarem componentes diferentes; Prim faz crescer uma única árvore a partir de um vértice inicial.

Resposta

B · Algoritmo de Kruskal
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

B · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves

Porque é esta a resposta

Se uma posição removida ficasse vazia, buscas posteriores poderiam parar cedo demais e não encontrar chaves colocadas mais adiante na cadeia de sondagem.

Resposta

D · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 24

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): D: 18, G: 18
C (13)
D (18): E: 24, F: 24
G (18)
E (24)
F (24)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 24

Resposta

d(F) = 24

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