Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de multiplicar duas matrizes n × n com o laço triplo padrão?

  1. AO(n)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. An² = o(n)
  2. B2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  3. Cn = o(n²), mas n não é o(n)
  4. Dn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(log n), por causa da busca binária
  2. BO(1), porque o índice é conhecido
  3. CO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
  4. DO(n²), porque cada elemento se move n vezes
4.Estruturas de dadosDifícil

Você precisa guardar os k menores valores de um fluxo de n números usando O(k) de memória. Qual abordagem funciona em tempo O(n log k)?

  1. AUm array ordenado com todos os n valores
  2. BUm min-heap com todos os n valores, do qual os k menores são removidos no final
  3. CUm max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
  4. DUma fila FIFO com os últimos k valores
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 32 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
31012151981055ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n³)

Porque é esta a resposta

Há n² entradas e cada uma precisa de n multiplicações, o que dá n³ operações.

Resposta

C · O(n³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

C · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

C · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor

Porque é esta a resposta

A raiz do max-heap é o maior valor guardado; qualquer valor novo menor a substitui em O(log k), então o heap sempre contém os k menores até o momento.

Resposta

C · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 15

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Resposta

L = 15

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 3, C: 10
2. B (3): D: 18
3. C (10): E: 11, G: 15
4. E (11): F: 21
5. G (15)
6. D (18)
7. F (21)

rodada 6

D

Resposta

D

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