Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árvore e floresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em K_n: (n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L: (Mᴸ)_ij

Método

Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

AEscolher primeiro a atividade mais curta
BEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
CEscolher a atividade que começa mais cedo
DEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis

2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

ANão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
BSim, portanto o limite inferior está errado
CSim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
DNão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

3.Estruturas de dadosMédia

Uma tabela hash de tamanho 7 usa h(k) = k mod 7 e sondagem linear. Depois de inserir 10, onde 17 é armazenado?

ANo índice 0
BNo índice 3
CNo índice 4
DNo índice 6

4.Estruturas de dadosDifícil

Que garantia as regras da árvore rubro-negra dão sobre a altura de uma árvore com n chaves?

AA altura é no máximo 2 log₂(n + 1)
BA altura é no máximo n / 2
CA altura é exatamente log₂ n
DA altura é no máximo log₂ n + 1

5.Teoria dos grafosMédia

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5

1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas

6.Teoria dos grafosDifícil

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F

d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

B · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

D · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

3.Estruturas de dados

Resposta: C · No índice 4

Porque é esta a resposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; o índice 3 está ocupado, então a sondagem linear tenta a próxima posição, o índice 4.

Resposta

C · No índice 4

4.Estruturas de dados

Resposta: A · A altura é no máximo 2 log₂(n + 1)

Porque é esta a resposta

Todo caminho tem o mesmo número de nós pretos e nós vermelhos não podem ser adjacentes, então o caminho mais longo é no máximo o dobro do mais curto, o que dá altura O(log n).

Resposta

A · A altura é no máximo 2 log₂(n + 1)

5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; K_n tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 14

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 9, C: 3

C (3): E: 12

B (9): D: 18, G: 10

G (10): D: 11, E: 11

D (11)

E (11): F: 14

F (14)

Caminho mais curto

A → B → G → E → F

d(F) = 14

Resposta

d(F) = 14

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