Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quanto espaço de pilha usa uma função fatorial recursiva simples fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

  1. ASim, portanto o limite inferior está errado
  2. BNão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
  3. CNão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
  4. DSim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada para verificar se os parênteses em "{[()]}" estão balanceados?

  1. AUma tabela hash
  2. BUma pilha
  3. CUma árvore binária de busca
  4. DUma fila
4.Estruturas de dadosDifícil

Que garantia as regras da árvore rubro-negra dão sobre a altura de uma árvore com n chaves?

  1. AA altura é no máximo 2 log2(n + 1)
  2. BA altura é no máximo log2 n + 1
  3. CA altura é exatamente log2 n
  4. DA altura é no máximo n / 2
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
111101047142ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

A recursão chega a n chamadas de profundidade antes de qualquer retorno, e cada chamada precisa de um quadro de pilha, então usa espaço O(n).

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

C · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma pilha

Porque é esta a resposta

Empilhe cada símbolo de abertura e desempilhe quando aparecer um de fechamento; ele deve corresponder ao desempilhado e a pilha deve estar vazia no final.

Resposta

B · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)

Porque é esta a resposta

Todo caminho tem o mesmo número de nós pretos e nós vermelhos não podem ser adjacentes, então o caminho mais longo é no máximo o dobro do mais curto, o que dá altura O(log n).

Resposta

A · A altura é no máximo 2 log2(n + 1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 17

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 11
B (1): D: 11
C (11): E: 15
D (11): F: 25
E (15): F: 17
F (17)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 17

Resposta

d(F) = 17

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