Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. ATesta todas as soluções possíveis
  2. BFaz a melhor escolha local em cada passo
  3. CSempre fornece a solução ótima
  4. DUsa apenas recursão
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que qualquer busca baseada em comparações num array ordenado precisa de Ω(log n) comparações no pior caso?

  1. ACada comparação leva tempo logarítmico
  2. BA busca binária é o único algoritmo possível e precisa de log₂ n comparações
  3. CTodo elemento precisa ser comparado pelo menos uma vez
  4. DUma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. Ai + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que um servidor pode escolher sua função hash ao acaso a partir de uma família universal?

  1. APara manter a tabela hash ordenada
  2. BPara garantir que duas chaves nunca colidam, quaisquer que sejam as chaves enviadas por um atacante
  3. CPara tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
  4. DPara eliminar a necessidade de redimensionar a tabela
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 34 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
121312464157ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

B · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n

Porque é esta a resposta

Cada comparação no máximo divide pela metade o conjunto de possibilidades restantes, então distinguir n posições exige pelo menos log₂ n comparações.

Resposta

D · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dados

Resposta: B · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

B · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si

Porque é esta a resposta

Com hashing universal, o número esperado de colisões é pequeno para qualquer conjunto de chaves, já que o atacante não sabe qual função foi escolhida.

Resposta

C · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 14 = 2(L + 6) − 2
L = 4

Resposta

L = 4

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 12
2. B (12): C: 25, D: 24, E: 19
3. E (19): C: 23, F: 34
4. C (23)
5. D (24): F: 28
6. F (28)

rodada 3

E

Resposta

E

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