Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de log₂ n
  2. BCerca de n / 2
  3. CCerca de √n
  4. DCerca de n
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para mostrar que um novo problema X é NP-difícil, o que você precisa fazer?

  1. AReduzir X a um problema NP-difícil conhecido em tempo polinomial
  2. BMostrar que X pode ser verificado em tempo polinomial
  3. CMostrar que X não tem algoritmo polinomial para entradas pequenas
  4. DReduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. A1
  2. BNão há máximo
  3. C0,5
  4. D2
4.Estruturas de dadosDifícil

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, por que a remoção costuma ser feita com um marcador de "lápide" (tombstone)?

  1. ALápides aceleram o hashing
  2. BChaves removidas precisam ser mantidas para sempre por segurança, então as posições nunca podem ser reutilizadas
  3. CEsvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
  4. DIsso deixa a tabela ordenada
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
20716113817ABCDE

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2; as arestas descartadas não contam.

k = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

A · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Se um problema difícil conhecido pode ser transformado em X de forma eficiente, um algoritmo rápido para X também resolveria o problema conhecido.

Resposta

D · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

A · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves

Porque é esta a resposta

Se uma posição removida ficasse vazia, buscas posteriores poderiam parar cedo demais e não encontrar chaves colocadas mais adiante na cadeia de sondagem.

Resposta

C · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 21

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 39 = 2(L + 10) − 2
L = 21

Resposta

L = 21

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AC

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. BD (1)
2. AC (7)
3. DE (8)
4. CE (13)

número da aresta 2

AC

Resposta

aresta AC

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