Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do quicksort no pior caso?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual técnica dá ao quicksort um tempo de execução esperado O(n log n) para qualquer entrada?

  1. ASempre escolher o primeiro elemento
  2. BOrdenar a entrada antes de executar o quicksort
  3. CEscolher o pivô de forma uniformemente aleatória
  4. DUsar recursão apenas no lado esquerdo
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A11
  2. B24
  3. C10
  4. D14
4.Estruturas de dadosDifícil

O algoritmo de Kahn para ordenação topológica remove repetidamente vértices com grau de entrada 0. Qual estrutura guarda esses vértices?

  1. AUma matriz de adjacência que registra quais vértices já foram removidos
  2. BUma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
  3. CUma pilha com todas as arestas visitadas
  4. DUm max-heap ordenado pelo grau de saída
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 20 vértices e 31 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 20|E| = 31
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
611113310315ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n²)

Porque é esta a resposta

Com pivôs sempre ruins (por exemplo, entrada já ordenada e o primeiro elemento como pivô), as partições ficam desbalanceadas, resultando em O(n²). O caso médio é O(n log n).

Resposta

C · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória

Porque é esta a resposta

Com um pivô aleatório, o tempo esperado é O(n log n) para toda entrada; casos ruins ainda existem, mas são muito improváveis.

Resposta

C · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

D · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0

Porque é esta a resposta

Os vértices prontos ficam numa fila; remover um diminui o grau de entrada dos vizinhos, e os que chegam a 0 são adicionados, o que dá tempo O(V + E).

Resposta

B · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

20 − 1 = 19

Arestas a remover

k = 31 − 19 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 6, C: 11
2. B (6): C: 7, D: 19, E: 21
3. C (7): E: 10
4. E (10)
5. D (19): F: 22
6. F (22)

rodada 5

D

Resposta

D

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