Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do quicksort no pior caso?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca média em uma tabela hash é O(1), mas o pior caso é O(n)?

  1. AArrays têm acesso O(n)
  2. BMuitas chaves podem colidir no mesmo bucket
  3. CFunções hash são lentas
  4. DAs chaves precisam ser ordenadas primeiro
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. An (ela vira uma lista encadeada)
  2. B√n
  3. Clog₂ n
  4. D1
4.Estruturas de dadosDifícil

A remoção de um nó com dois filhos de uma árvore binária de busca normalmente é feita:

  1. ARemovendo a subárvore inteira
  2. BReconstruindo do zero a subárvore abaixo dele e reinserindo todas as chaves que ela continha
  3. CTrocando-o com a raiz
  4. DSubstituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
2511118361ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n²)

Porque é esta a resposta

Com pivôs sempre ruins (por exemplo, entrada já ordenada e o primeiro elemento como pivô), as partições ficam desbalanceadas, resultando em O(n²). O caso médio é O(n log n).

Resposta

B · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket

Porque é esta a resposta

Com uma boa função hash e um fator de carga adequado, os buckets permanecem curtos em média; um hashing malicioso ou ruim pode colocar todas as chaves em um único bucket.

Resposta

B · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dados

Resposta: A · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

A · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó

Porque é esta a resposta

O sucessor em ordem tem no máximo um filho, então pode ser removido facilmente depois de copiar sua chave para o nó que está sendo removido.

Resposta

D · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 7

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 2
B (2): C: 7, D: 3
D (3): E: 4, F: 11
E (4): F: 7, G: 5
G (5)
C (7)
F (7)

Caminho mais curto

A → B → D → E → F
d(F) = 7

Resposta

d(F) = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms