Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. AUm único laço
  2. BNenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  3. CApenas entradas aleatórias
  4. DSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual limite está correto para log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Em um heap binário armazenado em um array a partir do índice 0, onde está o pai do nó no índice i?

  1. ANo índice ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BNo índice i − 1
  3. CNo índice 2i + 1
  4. DNo índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. AManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  2. BGuardar front e rear na mesma variável
  3. CSempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
  4. DFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 7 vértices e 10 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 7|E| = 10
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1111116991413ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

D · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Θ(n log n)

Porque é esta a resposta

log(n!) ≤ n log n, e os n / 2 maiores fatores dão log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); é por isso que a ordenação por comparação precisa de Ω(n log n).

Resposta

A · Θ(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Porque é esta a resposta

Os filhos de i estão em 2i + 1 e 2i + 2, então o pai de i é ⌊(i − 1) / 2⌋; com índices a partir de 1, é ⌊i / 2⌋.

Resposta

D · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

7 − 1 = 6

Arestas a remover

k = 10 − 6 = 4

Resposta

k = 4
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 1, C: 11
2. B (1): C: 2, D: 12, G: 15
3. C (2): E: 8
4. E (8): F: 17
5. D (12)
6. G (15)
7. F (17)

rodada 5

D

Resposta

D

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