Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de n / 2
  2. BCerca de log₂ n
  3. CCerca de √n
  4. DCerca de n
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual algoritmo encontra uma árvore geradora mínima adicionando repetidamente a aresta mais barata que não forma um ciclo?

  1. AAlgoritmo de Dijkstra
  2. BAlgoritmo de Prim a partir de um nó
  3. CFloyd-Warshall
  4. DAlgoritmo de Kruskal
3.Estruturas de dadosMédia

Você tem uma referência para um nó no meio de uma lista. Em qual lista é possível removê-lo em O(1)?

  1. AUm array ordenado
  2. BUm array dinâmico
  3. CUma lista duplamente encadeada
  4. DUma lista simplesmente encadeada
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual problema da sondagem linear o hashing duplo reduz principalmente?

  1. AA necessidade de uma função hash
  2. BO custo O(n) de ler o valor de uma chave
  3. CA necessidade de armazenar as chaves na tabela
  4. DO agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
11213492512ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

B · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Algoritmo de Kruskal

Porque é esta a resposta

Kruskal ordena as arestas por peso e as adiciona se conectarem componentes diferentes; Prim faz crescer uma única árvore a partir de um vértice inicial.

Resposta

D · Algoritmo de Kruskal
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

Um nó duplamente encadeado conhece o predecessor, então dá para religar prev e next diretamente; uma lista simplesmente encadeada precisa procurar o predecessor.

Resposta

C · Uma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas

Porque é esta a resposta

A sondagem linear avança de 1 em 1, então as sequências ocupadas crescem e se fundem; o hashing duplo usa um segundo hash para o tamanho do passo, de modo que chaves diferentes sondam sequências diferentes.

Resposta

D · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 20

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 11
C (11): B: 13, E: 15
B (13): D: 26
E (15): D: 24, F: 20
F (20): D: 22
D (22)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 20

Resposta

d(F) = 20

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