Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. AUsa apenas recursão
  2. BSempre fornece a solução ótima
  3. CTesta todas as soluções possíveis
  4. DFaz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. ANão há máximo
  2. B0,5
  3. C1
  4. D2
4.Estruturas de dadosDifícil

Na BST com raiz 50, subárvore esquerda 30 (filhos 20, 40) e subárvore direita 70 (filhos 60, 80), a raiz é removida usando o sucessor em ordem. Qual chave se torna a nova raiz?

  1. A80
  2. B70
  3. C40
  4. D60
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 15 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 15
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

D · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(n log² n)

Porque é esta a resposta

O nível k faz cerca de n log(n / 2ᵏ) de trabalho, e somar sobre os log n níveis dá Θ(n log² n), o segundo caso estendido do teorema mestre.

Resposta

C · Θ(n log² n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

C · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: D · 60

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda da subárvore direita é 60, então 60 substitui 50 e sua posição antiga é removida; usar o predecessor daria 40.

Resposta

D · 60
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 15 − 10 = 5

Resposta

k = 5
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 3

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EE = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 3

Resposta

N = 3

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