Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for j = 1 to i: faça trabalho O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como o algoritmo de Bellman–Ford detecta um ciclo de peso negativo alcançável a partir da origem?

  1. AApós V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
  2. BVerifica se alguma aresta tem peso negativo
  3. CExecuta o algoritmo de Dijkstra duas vezes e compara os dois resultados de distância
  4. DConta os ciclos com busca em profundidade
3.Estruturas de dadosMédia

Uma tabela hash de tamanho 7 usa h(k) = k mod 7 e sondagem linear. Depois de inserir 10, onde 17 é armazenado?

  1. ANo índice 0
  2. BNo índice 3
  3. CNo índice 6
  4. DNo índice 4
4.Estruturas de dadosDifícil

A remoção de um nó com dois filhos de uma árvore binária de busca normalmente é feita:

  1. AReconstruindo do zero a subárvore abaixo dele e reinserindo todas as chaves que ela continha
  2. BRemovendo a subárvore inteira
  3. CTrocando-o com a raiz
  4. DSubstituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 32 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n²)

Porque é esta a resposta

O corpo interno executa n(n + 1) / 2 vezes no total, o que continua sendo quadrático.

Resposta

D · O(n²)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada

Porque é esta a resposta

Todas as distâncias mínimas verdadeiras são encontradas em V − 1 rodadas; se uma aresta ainda puder ser melhorada, deve existir um ciclo negativo.

Resposta

A · Após V − 1 rodadas, verifica se alguma aresta ainda pode ser relaxada
3.Estruturas de dados

Resposta: D · No índice 4

Porque é esta a resposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; o índice 3 está ocupado, então a sondagem linear tenta a próxima posição, o índice 4.

Resposta

D · No índice 4
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó

Porque é esta a resposta

O sucessor em ordem tem no máximo um filho, então pode ser removido facilmente depois de copiar sua chave para o nó que está sendo removido.

Resposta

D · Substituindo-o pelo seu sucessor em ordem (ou predecessor) e removendo esse nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 10 = 2(L + 4) − 2
L = 4

Resposta

L = 4

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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