Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo do algoritmo de Bellman–Ford num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da parada mostra que:

  1. ALaços devem ser evitados
  2. BTodo programa acaba parando
  3. CNenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
  4. DAlguns programas rodam mais rápido em computadores mais rápidos, então a parada depende do hardware
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada pela busca em profundidade (DFS) na versão iterativa?

  1. AUma fila
  2. BUm heap
  3. CApenas uma tabela hash
  4. DUma pilha
4.Estruturas de dadosDifícil

Um nó AVL está desbalanceado porque a subárvore direita do seu filho esquerdo ficou alta demais (caso esquerda-direita). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação à direita no filho esquerdo e depois uma à esquerda no nó
  2. BUma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
  3. CUma rotação simples à esquerda no nó
  4. DUma rotação simples à direita no nó
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 9 vértices e 13 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 9|E| = 13
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
8114151096814ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(V × E)

Porque é esta a resposta

Cada uma das V − 1 rodadas relaxa as E arestas, o que dá O(VE); em troca, ele lida com pesos de aresta negativos.

Resposta

D · O(V × E)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para

Porque é esta a resposta

Turing mostrou que o problema da parada é indecidível: supor que existe um decisor leva a uma contradição com um programa que faz o oposto.

Resposta

C · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma pilha

Porque é esta a resposta

A DFS explora o mais fundo possível, usando naturalmente uma pilha (ou a pilha de chamadas da recursão); a BFS usa uma fila.

Resposta

D · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó

Porque é esta a resposta

A primeira rotação converte o caso esquerda-direita em um caso esquerda-esquerda, que uma rotação à direita no nó desbalanceado então corrige.

Resposta

B · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

9 − 1 = 8

Arestas a remover

k = 13 − 8 = 5

Resposta

k = 5
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 8, C: 11
2. B (8): D: 23, E: 22
3. C (11): E: 21
4. E (21): F: 29
5. D (23)
6. F (29)

rodada 5

D

Resposta

D

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