Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(n) tem como solução:

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre selecionar o k-ésimo menor elemento de um array não ordenado está correta?

  1. AO quickselect roda em O(log n) no pior caso, porque faz recursão em apenas um lado do pivô
  2. BO quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
  3. CA seleção sempre exige Ω(n log n), porque requer ordenação
  4. DA seleção só é possível em O(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. DNão há máximo
4.Estruturas de dadosDifícil

Um array dinâmico dobra de tamanho quando fica cheio. Por que muitas implementações só o encolhem quando está com um quarto da capacidade, e não com metade?

  1. APorque reduzir à metade com metade ocupada perderia elementos
  2. BPara evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
  3. CPorque o alocador de memória só consegue liberar memória em quartos de bloco
  4. DPara manter o array ordenado
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
11192131671241810ABCDEFG

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice A. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 5.

início: Ak = 5
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta GB
  8. 8aresta GC
  9. 9aresta GD
  10. 10aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n log n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Resposta

D · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso

Porque é esta a resposta

O trabalho esperado do quickselect é n + n/2 + n/4 + ... = O(n) com pivôs aleatórios; escolher o pivô como mediana das medianas torna o pior caso linear.

Resposta

B · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

A · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite

Porque é esta a resposta

Encolher com metade ocupada poderia disparar um redimensionamento a cada operação nessa sequência; a folga entre 1/4 e cheio mantém o custo amortizado em O(1).

Resposta

B · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices ímpares

B, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta DE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. AB (11)
2. BC (2)
3. GC (4)
4. GE (10)
5. DE (16)
6. DF (7)

número da aresta 5

DE

Resposta

aresta DE

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