Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ANenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  2. BSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  3. CUm único laço
  4. DApenas entradas aleatórias
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O insertion sort roda em O(n) com entrada ordenada. Isso contradiz o limite inferior Ω(n log n) da ordenação por comparação?

  1. ANão, porque o insertion sort não é uma ordenação por comparação
  2. BSim, mas só para arrays com menos de 100 elementos
  3. CNão, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
  4. DSim, portanto o limite inferior está errado
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o custo de inserir um elemento no meio de um array de n elementos?

  1. AO(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
  2. BO(log n), por causa da busca binária
  3. CO(n²), porque cada elemento se move n vezes
  4. DO(1), porque o índice é conhecido
4.Estruturas de dadosDifícil

O algoritmo de Kahn para ordenação topológica remove repetidamente vértices com grau de entrada 0. Qual estrutura guarda esses vértices?

  1. AUm max-heap ordenado pelo grau de saída
  2. BUma pilha com todas as arestas visitadas
  3. CUma matriz de adjacência que registra quais vértices já foram removidos
  4. DUma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 22 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 22
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
917191512718613ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada

Porque é esta a resposta

O limite diz que toda ordenação por comparação precisa de cerca de n log n comparações em alguma entrada de tamanho n; entradas especiais podem ser muito mais rápidas.

Resposta

C · Não, o limite inferior vale para o pior caso entre todas as entradas, não para cada entrada
3.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados

Porque é esta a resposta

Todos os elementos depois do ponto de inserção se movem uma posição para a direita, o que leva tempo proporcional a n.

Resposta

A · O(n), porque os elementos seguintes precisam ser deslocados
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0

Porque é esta a resposta

Os vértices prontos ficam numa fila; remover um diminui o grau de entrada dos vizinhos, e os que chegam a 0 são adicionados, o que dá tempo O(V + E).

Resposta

D · Uma fila (ou qualquer coleção) de vértices com grau de entrada 0
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 12

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 22 − 10 = 12

Resposta

k = 12
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 69

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GD (6): tomar
EF (7): tomar
AB (9): tomar
DF (12): tomar
GE (13): descartar, fecha um ciclo
DE (15): descartar, fecha um ciclo
BD (17): tomar
GC (18): tomar

Peso total

W = 6 + 7 + 9 + 12 + 17 + 18 = 69

Resposta

W = 69

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