Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(n) tem como solução:

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o tempo de execução do algoritmo de Dijkstra com um heap binário num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V³)
  2. BO((V + E) log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.Estruturas de dadosMédia

Um buffer circular (ring buffer) é comumente usado para implementar:

  1. AUma fila de tamanho fixo
  2. BUma árvore binária de busca
  3. CUma função hash
  4. DUm percurso em grafo
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual problema da sondagem linear o hashing duplo reduz principalmente?

  1. AA necessidade de armazenar as chaves na tabela
  2. BO custo O(n) de ler o valor de uma chave
  3. CA necessidade de uma função hash
  4. DO agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n log n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Resposta

A · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O((V + E) log V)

Porque é esta a resposta

Há V operações extract-min e até E operações decrease-key, cada uma O(log V); um heap de Fibonacci melhora isso para O(E + V log V).

Resposta

B · O((V + E) log V)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma fila de tamanho fixo

Porque é esta a resposta

Um buffer circular usa índices de início e fim que dão a volta, oferecendo enqueue e dequeue em O(1) com memória fixa.

Resposta

A · Uma fila de tamanho fixo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas

Porque é esta a resposta

A sondagem linear avança de 1 em 1, então as sequências ocupadas crescem e se fundem; o hashing duplo usa um segundo hash para o tamanho do passo, de modo que chaves diferentes sondam sequências diferentes.

Resposta

D · O agrupamento primário, em que se formam longas sequências de posições ocupadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Vértices ímpares

A, B, C, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Resposta

N = 2

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