Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe P está correta?

  1. AProblemas que podem ser resolvidos em paralelo
  2. BProblemas que exigem tempo exponencial em qualquer computador
  3. CProblemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
  4. DProblemas cujas soluções podem ser verificadas, mas nunca encontradas, em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Qual método de resolução de colisões armazena as chaves que colidem em uma lista no mesmo bucket?

  1. ASondagem linear (linear probing)
  2. BSondagem quadrática (quadratic probing)
  3. CHash duplo (double hashing)
  4. DEncadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de Fenwick (binary indexed tree) sobre um array de n números permite quais operações em O(log n)?

  1. AOrdenar o array e fazer busca binária
  2. BConsultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
  3. CInserir elementos em qualquer posição
  4. DEncontrar a mediana em O(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre, nlog₂ 2 = n domina o trabalho constante, então T(n) = Θ(n), como ao encontrar um máximo dividindo em metades.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

P contém os problemas de decisão com um algoritmo determinístico de tempo polinomial, como verificar se um grafo é conexo.

Resposta

C · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Encadeamento separado (separate chaining)

Porque é esta a resposta

O encadeamento mantém uma lista encadeada (ou outra estrutura) por bucket; o endereçamento aberto procura outra posição livre na própria tabela.

Resposta

D · Encadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento

Porque é esta a resposta

Uma árvore de Fenwick armazena somas parciais sobre intervalos determinados pelos bits menos significativos de cada índice, então tanto as somas de prefixo quanto as atualizações pontuais levam O(log n).

Resposta

B · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

A, B, C, D → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 3

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

Resposta

N = 3

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