Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
  2. BEscolher a atividade que começa mais cedo
  3. CEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
  4. DEscolher primeiro a atividade mais curta
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o custo amortizado de incrementar um contador binário, sabendo que um incremento pode inverter muitos bits?

  1. AO(log n) por incremento
  2. BO(n log n) por incremento
  3. CO(1) por incremento
  4. DO(n) por incremento
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Estruturas de dadosDifícil

O que uma splay tree faz depois de cada acesso?

  1. AReconstrói a árvore inteira na forma balanceada
  2. BMove o nó acessado para uma folha
  3. CLeva o nó acessado até a raiz por rotações
  4. DRecolore os nós do caminho de busca
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
146451183111515ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(1) por incremento

Porque é esta a resposta

Em n incrementos, o bit i inverte cerca de n / 2ⁱ vezes, então o total é menos de 2n inversões, uma média de O(1) cada.

Resposta

C · O(1) por incremento
3.Estruturas de dados

Resposta: A · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

A · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Leva o nó acessado até a raiz por rotações

Porque é esta a resposta

O splaying move o nó acessado para a raiz por meio de rotações; uma única operação pode custar O(n), mas o custo amortizado é O(log n).

Resposta

C · Leva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 22

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 36 = 2(L + 8) − 2
L = 22

Resposta

L = 22

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 14, C: 6
2. C (6): B: 10, E: 17, G: 21
3. B (10): D: 15
4. D (15): F: 18
5. E (17)
6. F (18)
7. G (21)

rodada 3

B

Resposta

B

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