Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com uma tabela bottom-up?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que qualquer busca baseada em comparações num array ordenado precisa de Ω(log n) comparações no pior caso?

  1. ATodo elemento precisa ser comparado pelo menos uma vez
  2. BCada comparação leva tempo logarítmico
  3. CA busca binária é o único algoritmo possível e precisa de log₂ n comparações
  4. DUma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(E²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.Estruturas de dadosDifícil

Para uma tabela hash funcionar corretamente, que regra o hash e a igualdade devem seguir?

  1. AChaves diferentes devem ter valores hash diferentes
  2. BValores hash iguais implicam chaves iguais
  3. COs valores hash devem ser números primos
  4. DChaves iguais devem ter valores hash iguais
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 6 vértices e 11 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 6|E| = 11
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
813213778147ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Preencher a tabela de 0 a n custa uma adição por entrada, então o trabalho é linear em vez de exponencial.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n

Porque é esta a resposta

Cada comparação no máximo divide pela metade o conjunto de possibilidades restantes, então distinguir n posições exige pelo menos log₂ n comparações.

Resposta

D · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

C · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Chaves iguais devem ter valores hash iguais

Porque é esta a resposta

Se duas chaves iguais tivessem hashes diferentes, iriam para buckets diferentes e as buscas falhariam; chaves diferentes ainda podem compartilhar um hash.

Resposta

D · Chaves iguais devem ter valores hash iguais
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

6 − 1 = 5

Arestas a remover

k = 11 − 5 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 8, C: 1
2. C (1): B: 4, E: 14, G: 9
3. B (4): D: 6
4. D (6): F: 13
5. G (9)
6. F (13)
7. E (14)

rodada 3

B

Resposta

B

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