Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(n) tem como solução:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. A2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
  2. B3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  3. CSatisfatibilidade de circuitos
  4. DSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
3.Estruturas de dadosMédia

Qual tipo abstrato de dados o algoritmo de Dijkstra usa para escolher o próximo vértice a processar?

  1. AUma fila FIFO
  2. BUma pilha
  3. CUma fila de prioridade mínima
  4. DUm conjunto sem ordem
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. ASó a pré-ordem
  2. BPré-ordem e pós-ordem
  3. CSó o percurso por níveis
  4. DPré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 5, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 32 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios de comprimento 2 vão de E a D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n log n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Resposta

A · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

A · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma fila de prioridade mínima

Porque é esta a resposta

Uma fila de prioridade mínima, normalmente um heap binário, retorna de forma eficiente o vértice não visitado com a menor distância.

Resposta

C · Uma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

D · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 21

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 43 = 2(L + 12) − 2
L = 21

Resposta

L = 21

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 1

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)ED = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Resposta

N = 1

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