Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árvore e floresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em K_n: (n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L: (Mᴸ)_ij

Método

Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de multiplicar duas matrizes n × n com o laço triplo padrão?

AO(n)
BO(n²)
CO(n² log n)
DO(n³)

2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de programação dinâmica de Held–Karp resolve o problema do caixeiro-viajante de forma exata. Qual é o seu tempo de execução para n cidades?

AO(n² 2ⁿ)
BO(n!)
CO(n³)
DO(2^n²)

3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

Ai + 1
B(i − 1) mod n
C2i + 1
D(i + 1) mod n

4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

AA raiz deve ser vermelha
BTodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
CTodo nó deve ser vermelho
DTodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas

5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K₄? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K₄

H =

6.Teoria dos grafosDifícil

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n³)

Porque é esta a resposta

Há n² entradas e cada uma precisa de n multiplicações, o que dá n³ operações.

Resposta

D · O(n³)

2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n² 2ⁿ)

Porque é esta a resposta

Há cerca de n 2ⁿ estados, cada um calculado em O(n); isso é exponencial, mas muito mais rápido que testar todos os (n − 1)! percursos.

Resposta

A · O(n² 2ⁿ)

3.Estruturas de dados

Resposta: D · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

D · (i + 1) mod n

4.Estruturas de dados

Resposta: B · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

B · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; K_n tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3

6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 15, C: 13

2. C (13): E: 16, G: 24

3. B (15): D: 22

4. E (16): F: 29

5. D (22)

6. G (24)

7. F (29)

rodada 3

Resposta

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