Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo esperado sobre entradas aleatórias
  2. BO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
  3. CO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
  4. DO custo de um algoritmo com a melhor entrada
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que qualquer busca baseada em comparações num array ordenado precisa de Ω(log n) comparações no pior caso?

  1. ACada comparação leva tempo logarítmico
  2. BA busca binária é o único algoritmo possível e precisa de log₂ n comparações
  3. CTodo elemento precisa ser comparado pelo menos uma vez
  4. DUma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dadosMédia

Como um novo elemento é inserido em um heap binário?

  1. AColoca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
  2. BColoca-se na raiz e faz-se sift-down
  3. CInsere-se na posição ordenada, deslocando uma posição à direita todos os elementos maiores
  4. DReconstrói-se o heap inteiro do zero
4.Estruturas de dadosDifícil

Quais são os custos de tempo e de espaço extra para inverter no próprio lugar uma lista simplesmente encadeada?

  1. ATempo O(1) e espaço extra O(1)
  2. BTempo O(n log n) e espaço extra O(1)
  3. CTempo O(n) e espaço extra O(1)
  4. DTempo O(n) e espaço extra O(n)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 17 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 17|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
14451336717158ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

C · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n

Porque é esta a resposta

Cada comparação no máximo divide pela metade o conjunto de possibilidades restantes, então distinguir n posições exige pelo menos log₂ n comparações.

Resposta

D · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap

Porque é esta a resposta

Adicionar no fim mantém a árvore completa; trocar com o pai restaura a ordem em O(log n) passos.

Resposta

A · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Tempo O(n) e espaço extra O(1)

Porque é esta a resposta

Manter três ponteiros (anterior, atual, próximo) permite inverter cada ligação em uma passada, sem alocar novos nós.

Resposta

C · Tempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 1

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

17 − 1 = 16

Arestas a remover

k = 17 − 16 = 1

Resposta

k = 1
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 39

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DE (3): tomar
AC (4): tomar
BC (5): tomar
DF (6): tomar
EF (7): descartar, fecha um ciclo
GE (8): tomar
BD (13): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 13 = 39

Resposta

W = 39

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