Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A complexidade de tempo do Fibonacci recursivo ingênuo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) é:

  1. AExponencial
  2. BConstante
  3. CLinear
  4. DLogarítmica
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Caminhos simples mínimos podem ser encontrados em tempo polinomial. O que se sabe sobre encontrar o caminho simples mais longo entre dois vértices num grafo geral?

  1. AÉ indecidível
  2. BÉ sempre solúvel em O(V + E)
  3. CÉ NP-difícil
  4. DPode ser resolvido pelo algoritmo de Dijkstra com os pesos negados
3.Estruturas de dadosMédia

Quantos nós tem uma árvore binária perfeita de altura h, com a altura contada em arestas?

  1. Ah2
  2. B2h + 1
  3. C2h
  4. D2h+1 − 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura de dados permite um cache LRU (least recently used) com get e put em O(1)?

  1. AUm único array ordenado
  2. BApenas uma árvore binária de busca
  3. CApenas uma pilha
  4. DUm hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 17 vértices e 26 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 17|E| = 26
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
2021917314712ABCDEF

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice D. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3.

início: Dk = 3
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Exponencial

Porque é esta a resposta

A árvore de chamadas cresce aproximadamente como φⁿ (cerca de 1,618ⁿ). A memoização reduz isso para O(n).

Resposta

A · Exponencial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · É NP-difícil

Porque é esta a resposta

Um caminho simples mais longo de comprimento V − 1 é um caminho hamiltoniano, um problema NP-completo; em grafos acíclicos dirigidos, porém, é solúvel em tempo linear.

Resposta

C · É NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 2h+1 − 1

Porque é esta a resposta

Somar 1 + 2 + 4 + ... + 2h dá 2h+1 − 1; por exemplo, altura 2 dá 7 nós.

Resposta

D · 2h+1 − 1
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

O hash map encontra os nós em O(1) e a lista duplamente encadeada move os itens acessados para a frente e remove do final em O(1).

Resposta

D · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

17 − 1 = 16

Arestas a remover

k = 26 − 16 = 10

Resposta

k = 10
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. DE (3)
2. EF (7)
3. BE (12)
4. BC (19)
5. AC (2)

número da aresta 3

BE

Resposta

aresta BE

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