Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que muitas rotinas de ordenação de bibliotecas passam para o insertion sort em subarrays muito pequenos?

  1. AO insertion sort é O(n log n) no pior caso
  2. BO insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
  3. CAlgoritmos recursivos não conseguem lidar com arrays de menos de 10 elementos
  4. DO insertion sort usa menos memória que qualquer outro algoritmo de ordenação em entradas grandes
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) faça trabalho O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n √n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pré-ordem?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. AManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  2. BFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
  3. CSempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
  4. DGuardar front e rear na mesma variável
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 34 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
8161231413ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice D. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.

início: Dk = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas

Porque é esta a resposta

Para n pequeno, o laço simples do insertion sort supera o overhead de recursão do quicksort ou do merge sort, embora seja O(n²).

Resposta

B · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O total é n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e o número harmônico Hn é Θ(log n).

Resposta

B · O(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 1 2 4 5 3

Porque é esta a resposta

A pré-ordem visita 1, depois a subárvore esquerda (2, 4, 5), depois 3; as outras opções são em ordem, pós-ordem e por níveis.

Resposta

A · 1 2 4 5 3
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 5

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 17 = 2(L + 7) − 2
L = 5

Resposta

L = 5

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta DE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. BD (3)
2. DE (4)
3. CE (1)
4. AB (8)

número da aresta 2

DE

Resposta

aresta DE

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