Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. AApenas entradas aleatórias
  2. BSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  3. CUm único laço
  4. DNenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca média em uma tabela hash é O(1), mas o pior caso é O(n)?

  1. AFunções hash são lentas
  2. BArrays têm acesso O(n)
  3. CAs chaves precisam ser ordenadas primeiro
  4. DMuitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dadosMédia

Em um min-heap binário armazenado em um array (índices começando em 0), os filhos do nó no índice i estão em:

  1. Ai + 1 e i + 2
  2. Bi/2 e i/2 + 1
  3. C2i + 1 e 2i + 2
  4. D2i e 2i + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que os bancos de dados costumam usar árvores B+ em vez de árvores B simples nos índices?

  1. AÁrvores B+ armazenam dados apenas na raiz
  2. BÁrvores B+ não precisam ser balanceadas
  3. CÁrvores B+ usam nós internos binários, o que reduz as leituras de disco
  4. DTodos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1111425101314ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket

Porque é esta a resposta

Com uma boa função hash e um fator de carga adequado, os buckets permanecem curtos em média; um hashing malicioso ou ruim pode colocar todas as chaves em um único bucket.

Resposta

D · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 2i + 1 e 2i + 2

Porque é esta a resposta

Em arrays indexados a partir de 0, o filho esquerdo fica em 2i + 1, o filho direito em 2i + 2 e o pai em ⌊(i − 1)/2⌋.

Resposta

C · 2i + 1 e 2i + 2
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes

Porque é esta a resposta

Em uma árvore B+, os nós internos só guiam a busca e as folhas são encadeadas na ordem das chaves, então uma consulta por intervalo encontra a primeira chave e depois percorre as folhas.

Resposta

D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vértices ímpares

A, C, D, G → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 26

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 11, C: 11
B (11): D: 13, E: 25
C (11): E: 16
D (13): F: 26
E (16)
F (26)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 26

Resposta

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms