Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais duas coisas precisam ser mostradas para provar que um problema de decisão X é NP-completo?

  1. AX não tem algoritmo polinomial, e X é decidível
  2. BX está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
  3. CX está em P, e X se reduz ao SAT
  4. DX se reduz a um problema em P, e X está em NP
3.Estruturas de dadosMédia

Em um min-heap binário armazenado em um array (índices começando em 0), os filhos do nó no índice i estão em:

  1. A2i + 1 e 2i + 2
  2. B2i e 2i + 1
  3. Ci + 1 e i + 2
  4. Di/2 e i/2 + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura de dados permite um cache LRU (least recently used) com get e put em O(1)?

  1. AUm único array ordenado
  2. BUm hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
  3. CApenas uma pilha
  4. DApenas uma árvore binária de busca
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 6 vértices e 16 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 6|E| = 16
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
20185111912715816ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

Há n níveis com trabalho constante cada, como numa soma recursiva de um array.

Resposta

D · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

A pertinência a NP mostra que X não é mais difícil que NP; a redução a partir de um problema NP-completo conhecido mostra que X é pelo menos tão difícil quanto todo NP.

Resposta

B · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 2i + 1 e 2i + 2

Porque é esta a resposta

Em arrays indexados a partir de 0, o filho esquerdo fica em 2i + 1, o filho direito em 2i + 2 e o pai em ⌊(i − 1)/2⌋.

Resposta

A · 2i + 1 e 2i + 2
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

O hash map encontra os nós em O(1) e a lista duplamente encadeada move os itens acessados para a frente e remove do final em O(1).

Resposta

B · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 11

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

6 − 1 = 5

Arestas a remover

k = 16 − 5 = 11

Resposta

k = 11
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 61

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BC (5): tomar
GB (7): tomar
GD (8): tomar
CE (11): tomar
DF (12): tomar
GC (15): descartar, fecha um ciclo
GE (16): descartar, fecha um ciclo
AC (18): tomar

Peso total

W = 5 + 7 + 8 + 11 + 12 + 18 = 61

Resposta

W = 61

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms