Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que significa um problema ter subestrutura ótima?

  1. AO problema pode ser resolvido em tempo constante
  2. BUma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
  3. CO problema tem exatamente uma solução ótima, compartilhada por todos os subproblemas
  4. DTodos os subproblemas têm o mesmo tamanho
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual definição da classe P está correta?

  1. AProblemas cujas soluções podem ser verificadas, mas nunca encontradas, em tempo polinomial
  2. BProblemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
  3. CProblemas que exigem tempo exponencial em qualquer computador
  4. DProblemas que podem ser resolvidos em paralelo
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma matriz de adjacência usa para um grafo com V vértices?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Estruturas de dadosDifícil

O que uma splay tree faz depois de cada acesso?

  1. AMove o nó acessado para uma folha
  2. BReconstrói a árvore inteira na forma balanceada
  3. CLeva o nó acessado até a raiz por rotações
  4. DRecolore os nós do caminho de busca
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 18 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 18
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
6144313155ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas

Porque é esta a resposta

A subestrutura ótima é necessária tanto para os algoritmos gulosos quanto para a programação dinâmica produzirem respostas corretas.

Resposta

B · Uma solução ótima pode ser construída a partir de soluções ótimas dos seus subproblemas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

P contém os problemas de decisão com um algoritmo determinístico de tempo polinomial, como verificar se um grafo é conexo.

Resposta

B · Problemas de decisão solúveis por um algoritmo determinístico em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: D · O(V²)

Porque é esta a resposta

Uma matriz de adjacência armazena V × V entradas, sendo eficiente para grafos densos; listas de adjacência usam O(V + E), melhores para grafos esparsos.

Resposta

D · O(V²)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Leva o nó acessado até a raiz por rotações

Porque é esta a resposta

O splaying move o nó acessado para a raiz por meio de rotações; uma única operação pode custar O(n), mas o custo amortizado é O(log n).

Resposta

C · Leva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 8

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 18 − 10 = 8

Resposta

k = 8
6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 6, C: 1
2. C (1): E: 5
3. E (5): D: 8, F: 20
4. B (6)
5. D (8)
6. F (20)

rodada 4

B

Resposta

B

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