Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla roda em tempo O(1)
  2. BEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
  3. CEla retorna 0 automaticamente
  4. DO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais duas coisas precisam ser mostradas para provar que um problema de decisão X é NP-completo?

  1. AX não tem algoritmo polinomial, e X é decidível
  2. BX está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
  3. CX está em P, e X se reduz ao SAT
  4. DX se reduz a um problema em P, e X está em NP
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma fila circular armazenada em um array de capacidade n, como se calcula a posição seguinte ao índice i?

  1. A2i + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D(i + 1) mod n
4.Estruturas de dadosDifícil

Um array dinâmico dobra de tamanho quando fica cheio. Por que muitas implementações só o encolhem quando está com um quarto da capacidade, e não com metade?

  1. APara manter o array ordenado
  2. BPara evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
  3. CPorque o alocador de memória só consegue liberar memória em quartos de bloco
  4. DPorque reduzir à metade com metade ocupada perderia elementos
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
857485121ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

B · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

A pertinência a NP mostra que X não é mais difícil que NP; a redução a partir de um problema NP-completo conhecido mostra que X é pelo menos tão difícil quanto todo NP.

Resposta

B · X está em NP, e um problema NP-completo conhecido se reduz a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: D · (i + 1) mod n

Porque é esta a resposta

A operação módulo leva o índice n − 1 de volta a 0, então o array é reutilizado sem deslocar elementos.

Resposta

D · (i + 1) mod n
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite

Porque é esta a resposta

Encolher com metade ocupada poderia disparar um redimensionamento a cada operação nessa sequência; a folga entre 1/4 e cheio mantém o custo amortizado em O(1).

Resposta

B · Para evitar redimensionamentos repetidos quando pushes e pops se alternam perto do limite
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

B, C → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 20

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 8
B (8): C: 13, D: 15, E: 9
E (9): F: 21
C (13)
D (15): F: 20
F (20)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 20

Resposta

d(F) = 20

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