Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
  2. BO custo de um algoritmo com a melhor entrada
  3. CO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
  4. DO custo esperado sobre entradas aleatórias
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. A3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  2. BSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  3. CSatisfatibilidade de circuitos
  4. D2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dadosMédia

Você tem uma referência para um nó no meio de uma lista. Em qual lista é possível removê-lo em O(1)?

  1. AUma lista simplesmente encadeada
  2. BUm array ordenado
  3. CUma lista duplamente encadeada
  4. DUm array dinâmico
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura de dados permite um cache LRU (least recently used) com get e put em O(1)?

  1. AApenas uma árvore binária de busca
  2. BApenas uma pilha
  3. CUm hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
  4. DUm único array ordenado
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
121212282814ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

A · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

Um nó duplamente encadeado conhece o predecessor, então dá para religar prev e next diretamente; uma lista simplesmente encadeada precisa procurar o predecessor.

Resposta

C · Uma lista duplamente encadeada
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

O hash map encontra os nós em O(1) e a lista duplamente encadeada move os itens acessados para a frente e remove do final em O(1).

Resposta

C · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 16

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 12, C: 12
B (12): D: 14, E: 26
C (12): E: 20
D (14): F: 16
F (16)
E (20)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 16

Resposta

d(F) = 16

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