Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de multiplicar duas matrizes n × n com o laço triplo padrão?

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Usando o teorema mestre, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) tem como solução:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma rede rodoviária tem 100,000 cruzamentos, cada um ligado a cerca de 4 outros. Qual representação é mais adequada?

  1. AUm heap binário de arestas
  2. BUm único array ordenado de vértices
  3. CMatriz de adjacência
  4. DLista de adjacência
4.Estruturas de dadosDifícil

Você precisa guardar os k menores valores de um fluxo de n números usando O(k) de memória. Qual abordagem funciona em tempo O(n log k)?

  1. AUm max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
  2. BUm array ordenado com todos os n valores
  3. CUm min-heap com todos os n valores, do qual os k menores são removidos no final
  4. DUma fila FIFO com os últimos k valores
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
1156138716310ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n³)

Porque é esta a resposta

Há n² entradas e cada uma precisa de n multiplicações, o que dá n³ operações.

Resposta

A · O(n³)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(n³)

Porque é esta a resposta

log₂ 8 = 3, e n² cresce mais devagar que n³, então as folhas dominam: Θ(n³).

Resposta

C · Θ(n³)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Lista de adjacência

Porque é esta a resposta

Uma matriz precisaria de 1010 células, quase todas vazias; uma lista de adjacência armazena só as cerca de 400,000 entradas de arestas.

Resposta

D · Lista de adjacência
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor

Porque é esta a resposta

A raiz do max-heap é o maior valor guardado; qualquer valor novo menor a substitui em O(log k), então o heap sempre contém os k menores até o momento.

Resposta

A · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 12

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 1, C: 15
B (1): C: 7, G: 2
G (2): D: 5, E: 12
D (5): F: 12
C (7)
E (12)
F (12)

Caminho mais curto

A → B → G → D → F
d(F) = 12

Resposta

d(F) = 12

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