Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo encontra os caminhos mínimos a partir de uma origem em um grafo com pesos de arestas não negativos?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BBellman-Ford é necessário em todos os casos
  3. CBusca em profundidade (DFS)
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de Strassen multiplica matrizes usando 7, em vez de 8, multiplicações recursivas de blocos de metade do tamanho. Qual é o seu tempo de execução?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a altura no pior caso de uma árvore binária de busca com n nós se as chaves forem inseridas em ordem crescente?

  1. Alog₂ n
  2. B1
  3. C√n
  4. Dn (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dadosDifícil

Sem união por posto nem compressão de caminho, qual é o custo no pior caso de um único find em uma estrutura union-find com n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 13 vértices e 20 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 13|E| = 20
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
15111720916188ABCDEFG

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice B. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.

início: Bk = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta BC
  3. 3aresta BD
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DF
  6. 6aresta EF
  7. 7aresta GB
  8. 8aresta GD
  9. 9aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Algoritmo de Dijkstra

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Dijkstra funciona com pesos não negativos; Bellman-Ford lida com pesos negativos; Kruskal constrói árvores geradoras mínimas.

Resposta

D · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81

Porque é esta a resposta

Com a = 7 e b = 2, nlog₂ 7 domina o trabalho O(n²) das adições, o que dá cerca de n2,81.

Resposta

D · Θ(nlog₂ 7), cerca de n2,81
3.Estruturas de dados

Resposta: D · n (ela vira uma lista encadeada)

Porque é esta a resposta

Inserções ordenadas criam uma árvore degenerada de altura n, tornando as buscas O(n). Árvores balanceadas evitam isso.

Resposta

D · n (ela vira uma lista encadeada)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Uniões ingênuas podem ligar as árvores em uma longa cadeia, então o find pode seguir n − 1 ponteiros para o pai; as duas heurísticas o deixam perto de constante.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 8

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

13 − 1 = 12

Arestas a remover

k = 20 − 12 = 8

Resposta

k = 8
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. BC (1)
2. CE (7)
3. GE (8)
4. EF (9)
5. BD (11)
6. AB (15)

número da aresta 2

CE

Resposta

aresta CE

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