Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Uma função executa um laço de n iterações e depois, separadamente, outro laço de n iterações. Qual é a sua complexidade de tempo?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo para construir um heap binário a partir de n elementos não ordenados com o método bottom-up?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Em um heap binário armazenado em um array a partir do índice 0, onde está o pai do nó no índice i?

  1. ANo índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BNo índice 2i + 1
  3. CNo índice ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DNo índice i − 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que árvores B (B-trees) são usadas em bancos de dados e sistemas de arquivos?

  1. AElas não precisam de rebalanceamento
  2. BElas armazenam os dados sem ordenação
  3. CSeu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
  4. DElas usam menos memória que qualquer array, então o índice inteiro sempre cabe na memória principal
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 16 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 16
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1021495469ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(n)

Porque é esta a resposta

n + n = 2n, e os fatores constantes são descartados, então a função é O(n).

Resposta

D · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

Somar os custos de descida (sift-down) em todos os níveis resulta em uma série convergente, então o heapify roda em tempo linear.

Resposta

B · O(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Porque é esta a resposta

Os filhos de i estão em 2i + 1 e 2i + 2, então o pai de i é ⌊(i − 1) / 2⌋; com índices a partir de 1, é ⌊i / 2⌋.

Resposta

A · No índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco

Porque é esta a resposta

Árvores B armazenam muitas chaves por nó, então a altura é pequena e poucas leituras de blocos são necessárias por busca; árvores B+ também ligam as folhas para varreduras por intervalo.

Resposta

C · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 16 − 10 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 25

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 10
C (10): B: 12, E: 19
B (12): D: 26
E (19): D: 24, F: 25
D (24)
F (25)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 25

Resposta

d(F) = 25

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