Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. AUsa apenas recursão
  2. BFaz a melhor escolha local em cada passo
  3. CSempre fornece a solução ótima
  4. DTesta todas as soluções possíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como é classificado o problema do caixeiro-viajante?

  1. AA versão de decisão está em P, mas a versão de otimização é NP-completa
  2. BA versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
  3. CEstá em P, porque o algoritmo de Dijkstra o resolve visitando cada cidade uma única vez
  4. DÉ indecidível
3.Estruturas de dadosMédia

As chaves 50, 30, 70, 20, 40 são inseridas nessa ordem em uma árvore binária de busca vazia. Qual é o filho esquerdo de 30?

  1. A50
  2. B20
  3. C40
  4. D70
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que árvores B (B-trees) são usadas em bancos de dados e sistemas de arquivos?

  1. AElas não precisam de rebalanceamento
  2. BElas usam menos memória que qualquer array, então o índice inteiro sempre cabe na memória principal
  3. CSeu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
  4. DElas armazenam os dados sem ordenação
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
9437821311ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

B · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil

Porque é esta a resposta

"Existe um percurso de comprimento no máximo k?" é NP-completo; encontrar o percurso mais curto é NP-difícil, pois é pelo menos tão difícil quanto.

Resposta

B · A versão de decisão é NP-completa e a versão de otimização é NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 20

Porque é esta a resposta

20 é menor que 50 e menor que 30, então se torna o filho esquerdo de 30; 40 se torna o filho direito.

Resposta

B · 20
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco

Porque é esta a resposta

Árvores B armazenam muitas chaves por nó, então a altura é pequena e poucas leituras de blocos são necessárias por busca; árvores B+ também ligam as folhas para varreduras por intervalo.

Resposta

C · Seu alto fator de ramificação mantém a árvore rasa, reduzindo leituras lentas de disco
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 25

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

DF (2): tomar
BD (3): tomar
BC (4): tomar
CE (7): tomar
DE (8): descartar, fecha um ciclo
AB (9): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 25

Resposta

W = 25

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