Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla roda em tempo O(1)
  2. BEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
  3. CEla retorna 0 automaticamente
  4. DO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que decorreria se alguém encontrasse um algoritmo de tempo polinomial para um problema NP-completo?

  1. AO problema da parada se tornaria decidível
  2. BSó aquele problema passaria para P
  3. CTodo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
  4. DTodos os algoritmos de tempo exponencial passariam imediatamente a rodar em tempo linear
3.Estruturas de dadosMédia

Qual tipo abstrato de dados o algoritmo de Dijkstra usa para escolher o próximo vértice a processar?

  1. AUm conjunto sem ordem
  2. BUma fila de prioridade mínima
  3. CUma pilha
  4. DUma fila FIFO
4.Estruturas de dadosDifícil

Uma árvore de Fenwick (binary indexed tree) sobre um array de n números permite quais operações em O(log n)?

  1. AInserir elementos em qualquer posição
  2. BOrdenar o array e fazer busca binária
  3. CConsultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
  4. DEncontrar a mediana em O(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
317118820414ABCDEF

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice D. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3.

início: Dk = 3
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

B · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP

Porque é esta a resposta

Como todo NP se reduz a qualquer problema NP-completo em tempo polinomial, um algoritmo rápido para um dá um algoritmo rápido para todos.

Resposta

C · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Uma fila de prioridade mínima

Porque é esta a resposta

Uma fila de prioridade mínima, normalmente um heap binário, retorna de forma eficiente o vértice não visitado com a menor distância.

Resposta

B · Uma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento

Porque é esta a resposta

Uma árvore de Fenwick armazena somas parciais sobre intervalos determinados pelos bits menos significativos de cada índice, então tanto as somas de prefixo quanto as atualizações pontuais levam O(log n).

Resposta

C · Consultas de soma de prefixo e atualizações de um único elemento
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Vértices ímpares

C, D, E, F → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. DE (8)
2. EF (4)
3. BE (14)
4. BC (1)
5. AB (3)

número da aresta 3

BE

Resposta

aresta BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms