Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Quantos níveis tem a recursão do merge sort para um array de n elementos?

  1. ACerca de log₂ n
  2. BCerca de √n
  3. CCerca de n
  4. DCerca de n / 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Caminhos simples mínimos podem ser encontrados em tempo polinomial. O que se sabe sobre encontrar o caminho simples mais longo entre dois vértices num grafo geral?

  1. AÉ sempre solúvel em O(V + E)
  2. BPode ser resolvido pelo algoritmo de Dijkstra com os pesos negados
  3. CÉ NP-difícil
  4. DÉ indecidível
3.Estruturas de dadosMédia

Como um novo elemento é inserido em um heap binário?

  1. AReconstrói-se o heap inteiro do zero
  2. BInsere-se na posição ordenada, deslocando uma posição à direita todos os elementos maiores
  3. CColoca-se na raiz e faz-se sift-down
  4. DColoca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. AManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  2. BSempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
  3. CFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
  4. DGuardar front e rear na mesma variável
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
1012411411515104ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Cerca de log₂ n

Porque é esta a resposta

Dividir pela metade de n até 1 leva cerca de log₂ n níveis, e cada nível faz O(n) de trabalho de intercalação, o que dá O(n log n).

Resposta

A · Cerca de log₂ n
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · É NP-difícil

Porque é esta a resposta

Um caminho simples mais longo de comprimento V − 1 é um caminho hamiltoniano, um problema NP-completo; em grafos acíclicos dirigidos, porém, é solúvel em tempo linear.

Resposta

C · É NP-difícil
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap

Porque é esta a resposta

Adicionar no fim mantém a árvore completa; trocar com o pai restaura a ordem em O(log n) passos.

Resposta

D · Coloca-se no fim do array e faz-se sift-up enquanto violar a propriedade de heap
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

A · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Vértices ímpares

A, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: G

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 10, C: 12
2. B (10): D: 21, G: 25
3. C (12): E: 16
4. E (16): F: 31, G: 20
5. G (20)
6. D (21): F: 22
7. F (22)

rodada 5

G

Resposta

G

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