Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual limite está correto para log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Um nó de uma árvore binária de busca tem subárvore direita. Onde está o seu sucessor em ordem?

  1. ANo nó mais à direita da sua subárvore esquerda
  2. BSempre no seu filho direito
  3. CNo nó mais à esquerda da sua subárvore direita
  4. DSempre no seu pai
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. ASempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
  2. BManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  3. CGuardar front e rear na mesma variável
  4. DFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
91319121017ABCDE

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 4; as arestas descartadas não contam.

k = 4
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(log n)

Porque é esta a resposta

O problema cai pela metade a cada passo, com trabalho constante por passo, então há cerca de log₂ n passos.

Resposta

B · O(log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Θ(n log n)

Porque é esta a resposta

log(n!) ≤ n log n, e os n / 2 maiores fatores dão log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); é por isso que a ordenação por comparação precisa de Ω(n log n).

Resposta

B · Θ(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita

Porque é esta a resposta

Todas as chaves maiores próximas do nó estão na sua subárvore direita, e a menor delas é o nó mais à esquerda ali.

Resposta

C · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

B · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vértices ímpares

A, B, C, D, E, F → 6
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. AC (1)
2. BC (3)
3. DE (10)
4. CE (12)

número da aresta 4

CE

Resposta

aresta CE

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