Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla roda em tempo O(1)
  2. BO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  3. CEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
  4. DEla retorna 0 automaticamente
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual técnica dá ao quicksort um tempo de execução esperado O(n log n) para qualquer entrada?

  1. ASempre escolher o primeiro elemento
  2. BEscolher o pivô de forma uniformemente aleatória
  3. CUsar recursão apenas no lado esquerdo
  4. DOrdenar a entrada antes de executar o quicksort
3.Estruturas de dadosMédia

Qual método de resolução de colisões armazena as chaves que colidem em uma lista no mesmo bucket?

  1. ASondagem linear (linear probing)
  2. BHash duplo (double hashing)
  3. CSondagem quadrática (quadratic probing)
  4. DEncadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dadosDifícil

O que uma splay tree faz depois de cada acesso?

  1. AMove o nó acessado para uma folha
  2. BReconstrói a árvore inteira na forma balanceada
  3. CRecolore os nós do caminho de busca
  4. DLeva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
421052061817ABCDEF

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice C. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3.

início: Ck = 3
  1. 1aresta AC
  2. 2aresta BC
  3. 3aresta BD
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

C · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória

Porque é esta a resposta

Com um pivô aleatório, o tempo esperado é O(n log n) para toda entrada; casos ruins ainda existem, mas são muito improváveis.

Resposta

B · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Encadeamento separado (separate chaining)

Porque é esta a resposta

O encadeamento mantém uma lista encadeada (ou outra estrutura) por bucket; o endereçamento aberto procura outra posição livre na própria tabela.

Resposta

D · Encadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Leva o nó acessado até a raiz por rotações

Porque é esta a resposta

O splaying move o nó acessado para a raiz por meio de rotações; uma única operação pode custar O(n), mas o custo amortizado é O(log n).

Resposta

D · Leva o nó acessado até a raiz por rotações
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 19

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 35 = 2(L + 9) − 2
L = 19

Resposta

L = 19

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. BC (2)
2. AC (4)
3. CE (5)
4. BD (10)
5. DF (6)

número da aresta 3

CE

Resposta

aresta CE

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